همه‌چیز درباره نوار موبیوس و معمایی که پس از ۵۰ سال حل شد

ریچارد شوارتز، کسی که معمای نوار موبیوس را حل کرد و به‌خاطر خدمات ارزنده‌اش به نظریه‌ی گروه هندسی شناخته شده است، برای اولین بار حدود چهار سال پیش از این معما مطلع شد. یکی از روزها، ریاضی‌دانی به‌نام سرگئی تاباچنیکوف (Sergei Tabachnikov) از دانشگاه پنسیلوانیا مسئله‌ی نوار موبیوس را برای او شرح داد و شوارتز فصلی در این زمینه در کتابی که تاباچنیکوف و دمیتری فوکس (Dmitry Fuchs) از دانشگاه کالیفرنیا نوشته بودند، خواند. ذهن او پس از خواندن این فصل از کتاب به‌شدت درگیر نوار موبیوس شد تا اینکه چند وقت پیش توانست این معمای ۵۰ ساله را بالاخره حل کند.

شوارتز در مقاله‌‌ی منتشر شده در arXiv.org در ۲۴ آگوست ۲۰۲۳، حدس هالپرن-ویور را اثبات کرد. او نشان داد که نوارهای موبیوس را فقط می‌توان با نسبت ابعاد بیشتر از رادیکال سه، یعنی حدود ۱٫۷۳ ساخت. برای مثال، اگر پهنای نوار کاغذی که می‌خواهید با آن نوار موبیوس بسازید، یک سانتی‌متر باشد، طول آن باید بیشتر از رادیکال‌ سه سانتی‌متر باشد.

حل این معمای ۵۰ ساله به خلاقیت ریاضی نیاز داشت. فوکس می‌گوید:

اما شوارتز چطور به این راه‌حل رسید و اصلا این راه‌حل چه بود؟ خلاقیت او در این بود که توانست مسئله‌ را به قطعات کوچک‌تر تقسیم کند. برای حل هر یک از قطعات هم فقط کافی بود از اصول اولیه‌ی هندسه کمک گرفت.

البته همه‌چیز به همین سادگی نبود. شوارتز پیش از رسیدن به راه‌حل، چند سال روش‌های متفاوت را امتحان کرد، اما به جواب نرسید. تا اینکه اخیرا تصمیم گرفت دوباره برای حل این معما تلاش کند، چون حسی به او می‌گفت روشی که در مقاله‌ی ۲۰۲۱ خود به کار برده بود، باید جواب می‌داد.

در راه‌حل شوارتز، لم الگوی T اهمیت بسیار زیادی دارد. این لم با ایده‌ی ساده‌ی زیر شروع می‌شود:

نوارهای موبیوس و کلا هر شی کاغذی، روی سطح خود خطوط مستقیم دارند که سطوح حاکم نامیده می‌شوند. هرگاه کاغذی در فضا باشد، حتی اگر حسابی در هم پیچ‌خورده باشد، باز هم در هر نقطه از این کاغذ، خط مستقیمی از آن عبور می‌کند. می‌توانید در ذهن خود این خطوط مستقیم را روی نوار موبیوس ترسیم کنید، طوری‌که در دو انتها به لبه‌ی نوار می‌رسند.

شوارتز در بررسی‌های اولیه‌اش دو خط مستقیمی را پیدا کرد که عمود بر یکدیگر و همچنین در یک صفحه هستند و روی هر نوار موبیوس یک الگوی T را تشکیل می‌دهند. به‌گفته‌ی شوارتز، «اصلا واضح نیست که این خطوط وجود دارند.» درواقع، نشان دادن اینکه این خطوط وجود دارند، اولین بخش از اثبات این لم بود.

وقتی این حس شوارتز را قلقلک داد که جایی در این مقاله راه را اشتباه رفته است، تصمیم گرفت روش دیگری را امتحان کند. او با خود فکر کرد: «شاید اگر بتوانم نشان دهم که می‌توان نوارهای موبیوس را صاف و مسطح کرد، می‌توانم آن را به مسئله‌ی ساده‌تری تبدیل کنم تا بدین‌ترتیب فقط به اشیای مسطح فکر کنم.»

در جریان همین آزمایش‌ها، شوارتز یکی از نوارها را برید و در کمال شگفتی متوجه شد که شکلی که تا مدت‌ها فکر می‌کرده متوازی الاضلاع است، ذوزنقه بوده است. شواترز وقتی متوجه اشتباهش شد، ابتدا از دست خودش آزرده شد، چون به‌گفته‌ی خودش، از اشتباه کردن متنفر است؛ اما بعد مصمم شد از اطلاعات جدیدی که به‌دست آورده، در محاسبات قبلی‌اش استفاده کند.

تاباچنیکوف درباره‌ی حل مسئله‌ی نوار روبیوس می‌گوید:

کشف نوار موبیوس از پایه‌های اصلی شکل‌گیری رشته‌ی توپولوژی در ریاضیات بود و اصلا این یوهان بندیکت لیستینگ بود که نام توپولوژی را برای بررسی خواص هندسی اشیا و جای‌گیری آن‌ها در فضا ابداع کرد.